Nous sommes allés au collège pour la semaine des maths. Nous avons réalisé quelques activités. L’une d’entre elles était « la roue de vélo ». Il fallait représenter le trajet dans l’espace d’un chewing-gum collé sur la roue et voici les dessins que nous avons réalisés :

Pour dessiner la trajectoire, nous avons eu plus de difficulté (voir la vidéo ici).

Mais finalement, en faisant rouler une roue de vélo sur laquelle était collé un repère en scotch, nous avons tous compris que la trajectoire du chewing-gum ressemble à cela :

On appelle cette trajectoire une cycloïde.

Calculs des positions de chaque empreinte

Ensuite il fallait essayer de voir ce que ça ferait, si le chewing-gum  laissait des taches d’encre et voici comment nous avons schématisé ces traces :

À partir d’une certaine roue (petite, moyenne ou grande), sans faire rouler la roue au sol, il fallait calculer les emplacements exacts des empreintes de chewing-gum sur la route.

Comme nous n’avons pas eu le temps de finir ces calculs au collège, nous les avons repris à l’école.

Au départ, nous nous sommes dit qu’il fallait calculer la longueur d’un demi- cercle en reprenant la trajectoire du chewing-gum dans l’espace.

Mais en traçant plusieurs cycloïdes dans la classe avec des objets différents, nous avons vu qu’il n’y a pas de demi-cercles dans une cycloïde mais des arcs de cercle plus ou moins grands !

Matériel utilisé pour tracer les cycloïdes :

Agnès nous a dit de réfléchir encore à ce que nous devions calculer et d’écrire ce que nous savions :

• Le chewing-gum fait exactement ce que fait le vélo.
• Quand le vélo fait un « mouvement », le chewing-gum fait le même.
• Quand la roue du vélo fait un tour, le chewing-gum en fait un aussi.

Avec ces phrases, nous nous sommes rendu compte que l’espace entre deux empreintes correspond à la « longueur d’une roue dépliée », c’est-à-dire au périmètre du cercle, à la circonférence de la roue.

Pour connaitre cette circonférence, il faut faire la formule :

∅ × 3,14 ou R × 2 ×3,14

Matys et Maxime ont pris une règle et mesuré le diamètre de la roue du vélo. Le calcul donne un résultat de 188 cm. Ils ont tracé les empreintes du chewing-gum sur une bande de papier :

Auteurs : Axel et Matys (CM2)

Le Brazuca, un ballon de foot pour faire des maths !

Il y a plusieurs ballons de foot différents. Tous les quatre ans, il existe un nouveau ballon de coupe du monde.

Les anciens ballons sont faits à partir de pentagones et d’hexagones. Pour le patron, il faut avoir 20 hexagones et 12 pentagones et il ne faut pas que de pentagones se touchent.

Nous avons observé sur le Brazuca (le ballon de foot de la coupe du monde 2014) qu ‘il n’était pas constitué de pentagones et d’hexagones.

Les constructeurs du ballon ont eu l’idée d’un ballon composé de la même forme mais qui se répète six fois, comme un cube (voir article du mathématicien Etienne Ghys) !

Le patron du Brazuca est donc très différent : il contient beaucoup moins d’éléments qui sont tous de la même forme . Voici son patron d’assemblage :

Pour construire notre ballon nous avons construit une forme (voir ici). Il fallait 6 fois cette forme :

et les assembler en respectant la matrice du Brazuca.

Voici un assemblage :

Dans une deuxième étape, nous allons réfléchir à la forme qu’il faudrait pour combler les trous. Nous sommes quand même fiers de notre ballon ! Pour l’instant le nom de notre prototype est l’ÉTITROUS !

Auteurs : Émilie et Baptiste pour le texte et les photos, Coraline pour la maquette.

Si on lance un ballon de basket, on obtient une trajectoire qui sera en forme de parabole. Une parabole est une courbe qui a comme particularité qu’au point le plus haut de la trajectoire (entre la montée et la descente du ballon) les deux parties de la courbe sont symétriques.

Si on lance un volant de badminton, on obtient une trajectoire différente. Elle commence une courbe et à partir du point le plus haut redescend en parcourant moins de distance.

Expliquer la différence de trajectoire :

• Le ballon de basket est rempli d’air, il n’a pas de trou (l’air ne passe pas à travers lui), c’est une sphère, sa masse est répartie de façon équilibrée.
• Le volant a des trous par lesquels passe l’air qui le freine, il possède une extrémité rigide et sa masse n’est pas répartie de façon équilibrée.

Auteur : Arthus (CM1)

Avec la puissance que nous donnons quand nous tapons dans le volant de badminton, le poids du volant étant lourd, il s’écrase et la trajectoire fait cela :

Auteur : Théo (CM2)

_{Chronophotographie de la trajectoire d’un volant de badminton réalisée à partir du film que nous avons pris en décembre 2015 lors de notre première visite au collège. La chronophotographie a été faite par M. Dumont.}

On peut voir sur cette image que la trajectoire de part et d’autre de la droite rouge (perpendiculaire au sol et qui passe par le point le plus haut du volant) n’est pas identique. à partir de ce point, le volant en retombant aura parcouru moins de distance que dans sa trajectoire ascendante. La courbe n’est pas une parabole.

Nous avons rédigé un protocole pour tracer un khatim (l’image suivante est extraite du travail de Fathi pour l’APMEP Lorraine).

Le matériel : une règle non graduée, un compas, un crayon de papier, une feuille sans lignes

Les étapes de construction (cliquez sur les symboles pour accéder au vocabulaire) :

1. Placer un point O au centre de la feuille.⊗
2. Tracer un cercle de centre O.
3. Tracer un diamètre ♦ de ce cercle. Il coupe le cercle en A et C.
4. Tracer le diamètre perpendiculaire ♥ au diamètre AC. Il coupe le cercle en B et D.
5. Tracer le carré ABCD ; à l’aide d’un compas, placer un point E à équidistance ♣ de A et B.
6. Tracer la droite EO. Elle coupe le cercle en G et I.
7. à l’aide du compas, placer le point F à équidistance de B et C.
8. Tracer la droite FO. Elle coupe le cercle en H et I.
9. Tracer le carrés GHIJ
10. 

Auteurs : Emilie et Axel (CM2)